Algèbre linéaire avancée I
Weekly outline
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Objectifs
L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.
Contenu
- Concepts d'algèbre : ensembles, groupes, anneaux, corps, anneaux de polynomes.
- Résultats préliminaires sur les groupes anneaux et corps, sous-groupes, sous-anneaux, morphismes, noyau, image.
- Espaces vectoriels : indépendance linéaire, bases, dimension, sous-espaces, sommes directes.
- Applications linéaires : noyau, image, rang, matrices, changement de bases.
- Systèmes d'équations linéaires et calcul matriciel
- Opérations élémentaires, algorithme de Gauss et formes échelonnées, équivalence des matrices.
- Determinants
Examen: Lundi 16.01.2023 de 15h15 à 18h45 (CE1515, CE6)
voir ci-dessous pour les listes ainsi que les plans des salles avec les numeros des placesCours
Lundi, de 13h15 à 15h00, CM3
Mardi, de 8h15 à 10h00, CO2Enseignant: philippe.michel@epfl.ch
Seances d'exercices en semaine
Lundis de 15h15 a 16h CM3
Jeudis de 15h15 a 17h CO010, CO011, CO015, CO016, CO017, CO121
Assistant.e.s:
filippo.berta@epfl.ch
benoit.cuenot@epfl.ch
daniil.dubinin@epfl.ch
mathis.duguin@epfl.ch
alice.foffa@epfl.ch
maxime.germain@epfl.ch
mehdi.hachimi@epfl.ch
mauricemischler@gmail.com
loris.schirar@epfl.ch
salya.diallo@epfl.ch
hamza.drissikamili@epfl.ch
svenja.zurverth@epfl.ch
Repartition dans les differentes salles d'exercices
CO010: Abouda ... Bleich
CO011: Bogdanova ... Dussart
CO015: El Itreby ... Hamelink
CO016: Hamidi ... Marr
CO017: Martel ... Regamey
CO121: Rivadeneira ... ZulfijiSeances de soutien
Des seances de soutien aux etudiant.e.s (remplacant le soutien qui avait lieu les samedis) seront organisees chaque semaine a partir de la deuxieme semaine.
Assistante:
celine.berthaud@epfl.chSeance en personne:
Les mercredis de 17h30 a 19h en salle CM 1 100
via Zoom
Les mardis et jeudis de 18h15 a 19h00
url Zoom: https://epfl.zoom.us/j/61360018910
Séance hebdomadaire de RAQ via Zoom les Lundis de 18h15 a 19h00.
URL Zoom: https://epfl.zoom.us/j/61475715939
Organisation des séries d'exercices :
Au debut de chaque semaine, une série d'exercices sera postee sur le moodle. Vous travaillerez cette série avant et pendant les séances d'exercices du jeudi de la semaine de la mise en ligne et ce jusqu'au lundi d'apres inclus (et meme les semaines suivantes si vous souhaitez approfondir).
Une correction (detaillee ou pas) de tous les exercices sera postee sur le moodle environ 2 semaines apres .
Un des exercices sera marque d'un etoile; pour celui-ci vous pourrez, si vous le souhaitez, et jusqu'au dimanche de la semaine d'apres, rendre votre propre redaction afin qu'elle puisse être corrigée par les assistant.e.s. Pour cela vous deposerez une copie scannee ou photographiee au format pdf en suivant le lien l'onglet convenable de la semaine correspondante. Cette correction ne compte pas dans la note du cours, mais nous vous conseillons de les rendre autant que possible car le feedback obtenu ainsi vous sera utile lors de la préparation de l'examen.
Pendant les séances d'exercices, vous tenterez de résoudre les exercices par vous-mêmes ou en collaboration. En général, ces périodes ne suffisent pas pour terminer la série et il est fortement conseillé d'y travailler en dehors des séances. Des assistant.e.s (et des assistant.e.s étudiant.e.s) seront présents pour aider et répondre aux questions.
Quelques ouvrages de références :
- Robert J. Valenza, Linear Algebra - An Introduction to Abstract Mathematics, Springer - Undergraduate Texts in Mathematics, 1993
- J. Grifone, Algèbre linéaire, Cepadues-Editions,1990.
- R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition 1999.
- K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, second edition, 1971.
De nombreux exercices peuvent être trouvés dans les ouvrages suivants :
- S. Lipschutz, Algèbre linéaire, série Schaum, Mc Graw-Hill.
- R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
-Bruce Cooperstein, Advanced Linear Algebra, CRC press.
-Introduction to the Theory of groups, Joseph Rotman, Springer, Fourth Edition, 1995
-Algebre : Théorie des groupes, Anne Cortella, Vuibert, 2011.
- Linear Algebra: Friedberg, Insel, Spence, plusieurs editions.En cas d'absence de ma part une video du cours sera enregistree a la place et postee sur la chaine SWITCHTUBE du cours -
Le language des ensembles. Cours pages 5-13
Quelques axiomes de ZFC, construction des entiers naturels.
Operations sur les ensembles: union, intersection, produit cartesien.
Le Jeudi 22 Septembre il n'y aura pas de seance d'exercices (a cause du lundi du jeune nous n'avons pas eu un nombre de cours suffisant)
Le premiere feuille d'exercices sera postee la semaine prochaine
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Cours Pages 13-26
Relations binaires.
Applications entre ensembles. Graphe d'une application
Image directe, Image reciproque. Application Injective, Surjective, Bijective. Application Reciproque.
Composition d'applications.
Cardinal d'un ensemble. Ensembles finis, denombrable, non-denombrable.
Groupes. Definition. Groupes commutatifs. Exemples, notamment le groupe symetrique.
Proprietes formelles d'un groupe.
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Groupes, sous-groupes, groupe engendre, morphismes de groupes, Action d'un groupe sur un ensemble.
(pdf pages 23-36)
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Fin du chapitre sur les groupes. Morphismes de groupes. Noyau. Critere d'injectivite. Ordre d'un element. Action par conjugaison d'un groupe sur lui-meme.
Anneaux: definition; exemples d'anneaux. Divisibilite, elements inversibles, groupe des unites.
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Anneaux (suite et presque fin); sous-anneau. Morphisme d'anneaux; morphisme canonique. Noyau (Ideal), image. Structure des ensembles de morphismes d'anneaux.
Modules sur un anneau; Z-module=groupe commutatif; sous-modules, modules engendre et modules de type fini.
Morphisme de modules; noyau, image; structure des ensembles de morphismes de modules.
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Structure des ensembles d'applications A-lineaires entres modules (A-module et d'anneau pour les endomorphismes).
Structure de A -algebre de l'anneau des endomorphisme quand A est commutatif.
Corps: definition et exemples, notamment corps finis.
Corps des fractions d'un anneau integre. Corps obtenant par quotient d'un ideal maximal.
Caracteristique d'un corps.
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Corps : caracteristique d'un corps. Caracteristique nulle et positive. Frobenius.
Espaces vectoriels; sous-espaces; sous-espaces engendres; dimension famille generatrice, libre. Classification des EVs de dim finie.
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Fin de la theorie de la dimension. Cas de la dimension infinie. Exemple de l'espace des polynomes sur un corps.
Applications lineaires, Thm Noyau-Image.
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Dimension et Base des espaces d'applications lineaires. formes lineaires coordonnees, base dual, Applications lineaires elementaires. Coefficients relativement a une base donnee. Proprietes fonctionelles des coefficients. Applications lineaires duales, leurs coefficients et leurs proprietes.
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Matrices. lois s'addition, de multiplication, transposition. Rang. Algebre des matrices carrees, matrices inverstibles, groupe lineaire.
pas de RAQ cette semaine -
Theorei du Changement de Base. Matrice equivalentes. Matrices semblables. Conjugaison.
Operations elementaires sur les lignes d'une matrice.
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Operations elementaires sur les lignes d'une matrice et Applications: suite et fin
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Formes multilineaires. Dimension et base. Formes symetriques, alternees. Lien avec les permutations. Procede de symetrisation. Dimension de l'espace des formes alternees. Defintion du determinant.
- Video de veritasium sur l'origine des nombres complexes
- Video sur les nombres complexes 1
- Video sur les Nombres complexes 2
- Video sur les Nombres complexes 3
- Video sur les polynomes 1
- Video sur les polynomes 2
- Video sur les polynomes 3
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Determinants suite (et fin) pour le semestre: determinant d'une application lineaire, d'une matrice. Methodes de calcul (blocs , operations elementaires, developement de Lagrange ...)
Polynome caracteristique (en video)
Enregistrement sur le polynome caracteristique 1
Enregistrement sur le polynome caracteristique 2