Exercice n°38 (pages 90 et 272) de l'ouvrage C++ par la pratique.
(pages 92 et 272 dans la 2e édition).

(PGDC = plus grand diviseur commun)

Buts

Écrivez le programme pgdc.cc qui :

  1. demande à l'utilisateur d'entrer deux entiers strictement positifs a et b;
  2. teste si a et b sont bien strictement positifs, et dans le cas contraire les redemande à l'utilisateur.
  3. trouve les entiers u, v et p satisfaisant l'identité de Bezout (i.e. une équation à valeurs entières) : u a + v b = p, avec p le plus grand commun diviseur de a et b.

Méthode

La méthode utilisée est l'algorithme d'Euclide.

On procédera par itération, comme suit (en notant x / y le quotient et x % y le reste de la division entière de x par y) :

0 : initialisation u0 = 1 v0 = 0
x1 = a y1 = b u1 = 0 v1 = 1
... ... ... ...
i+1 : itération xi+1 = yi yi+1 = xi % yi ui+1 = ui-1 - ui(xi / yi) vi+1 = vi-1 - vi(xi / yi)
... ... ... ...
Valeurs finales xk-1 yk-1 != 0 uk-1 vk-1
k : condition d'arrêt quand yk = 0 p = xk yk = 0 inutile inutile

C'est-à-dire que l'on va calculer de proche en proche les valeurs de x, y, u et v. En calculant à chaque fois les nouvelles valeurs en fonction des anciennes (et en faisant bien attention à mémoriser ce qui est nécessaire à un calcul correct, voir les indications ci-dessous).

Par exemple, yi+1 = xi % yi veut dire : "la nouvelle valeur de y vaut l'ancienne valeur de x modulo l'ancienne valeur de y".

Programmez ces calculs dans une boucle, qui s'execute tant que la condition d'arrêt n'est pas vérifiée.

Pensez à initialiser correctement vos variables avant d'entrer dans la boucle.

Indications

Vu les dépendances entre les calculs, vous aurez besoin de définir (par exemple) les variables : x, y, u, v et q=x/y, r=x%y, prev_u, prev_v, new_u et new_v.

Vous mettrez ces variables à jour à chaque itération, à l'aide des formules de la ligne i+1 et des relations temporelles évidentes entre elle (par exemple prev_u = u).

Testez si y est non nul avant d'effectuer les divisions !

Exemple d'execution

    Entrez un nombre entier supérieur ou égal à 1 : 654321
    Entrez un nombre entier supérieur ou égal à 1 : 210
    Calcul du PGDC de 654321 et 210

      x         y         u         v
    210       171         1     -3115
    171        39        -1      3116
     39        15         5    -15579
     15         9       -11     34274
      9         6        16    -49853
      6         3       -27     84127
      3         0        70   -218107
    PGDC(654321,210)=3

Notes

  1. Vous pouvez réutiliser la fonction demander_nombre() de l'exercice 11 de la semaine 4 du MOOC (semaine 5 d'ICC).
  2. Remarquez que pour le seul calcul du PGDC, le calcul de x et y par l'algorithme ci-dessus suffit, pas besoin de u et v. Ils ont été introduits ici pour résoudre l'équation de Bezout (et vous faire programmer des suites imbriquées). Par exemple sur l'exemple précédent on a :
    -27 * 654321 + 84127 * 210 = 3.
Modifié le: mercredi, 8 septembre 2021, 16:04