\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\def \N {\mathbb N}
\def \R {\mathbb R}
\def \Z {\mathbb Z}
\def \K {\mathbb K}
\def \C {\mathbb C}
\def \id {{\rm id}\,}
\def \Ker {{\rm Ker}\,}
\def \Im {{\rm Im}\,}
\def \Vect {{\rm Vect}\,}
\def \Tr {{\rm Tr}\,}

\newcommand{\pscal}[1]{\langle {#1} \rangle}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}

\title{MATH-115(a) Algèbre linéaire avancée II \\
	Printemps 2023 \\
	Question ouverte 3}
%\author{Matthieu Haeberle}

\begin{document}
\maketitle
	\noindent
	Soit  $\pscal{ \cdot, \cdot}$ un produit scalaire quelconque sur $\R^n$ et $\norm{\cdot}$ la norme induite.
	
	\begin{enumerate}[\indent (1)]
		\item
		Soient $x, y \in \R^n$. Montrer l'\emph{identité de polarisation}
			\[ \pscal{x, y} = \frac14 \left( \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right). \]	
		
		\item
		En déduire que l'application
			\[ \pscal{ \cdot, \cdot} \mapsto \left( \norm{ \cdot } : x \mapsto \sqrt{\pscal{ x, x}} \right) \]
		est une injection de l'espace des produits scalaires vers celui des normes.
	\end{enumerate}

	\noindent
	Considérons désormais une isométrie $T \in \R^{n \times n}$. \\
	\emph{Définition :} $T$ est une \emph{isométrie} de $(\R^n, \pscal{\cdot, \cdot})$ si, pour tout $x \in \R^n$, on a
		\[ \norm{ Tx } = \norm{x}. \]

	\begin{enumerate}[\indent (1)]\setcounter{enumi}{2}
		\item
		Montrer que l'application
			\[ (x, y) \mapsto \pscal{Tx, Ty} \]
		est un produit scalaire.
		\item
		Montrer, à l'aide de la deuxième question, que $T$ est une isométrie de $(\R^n, \pscal{\cdot, \cdot})$ si et seulement si
			\[ \pscal{Tx, Ty} = \pscal{x, y} \]
		pour tout $x, y \in \R^n$.
	\end{enumerate}
	
	\noindent
	Prenons à présent une matrice $Q \in \R^{n \times n}$ orthogonale, et soit $A$ définie positive telle que $\pscal{x,y} =: x^T A y$ pour tout $x, y \in \R^n$.
	\begin{enumerate}[\indent (1)]\setcounter{enumi}{4}
		\item
		Montrer que $Q$ est une isométrie de $(\R^n, \pscal{\cdot, \cdot})$ si et seulement si $Q$ commute avec $A$.
	\end{enumerate}
	
%\newpage
%\subsection*{Question 1}
%	
%\subsection*{Question 2}
%	
%\subsection*{Question 3}
%	
%\subsection*{Question 4}
%	
%\subsection*{Question 5}


\end{document}