Série 6-7, échantillonnage, signaux

Série 6-7, échantillonnage, signaux

par Marcelo Manuel Gallardo Burga,
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Bonsoir monsieur, quelques questions sur la série 6 et 7 (excusez moi pour le nombre de questions): 

1- En faisant référence à l'exercice Bandes Passante et fréquence d'échantillonnage - peut on identifier dans le cas générale des modifications sur le paramètre f quand on observe que la fréquence va être modifiée par un facteur multiplicatif (ex: X(6t) ou X(at)*X(bt)); et quand on a une somme on prend max [set de fréquences]. 

2- Pour l'exercice du filtre moyenne mobile et on nous demande une représentation graphique (sans passer par du formalisme mathématique), est-il satisfaisant d'effectuer la trace de l'hyperbole puis ajuster les amplitudes dans le dessin? (de façon très empirique).

3- Dans le même exercice, con on cherche à démontrer que l'amplitude du signal X^(t)  [sortant], inférieur en valeur absolue au sinus cardinal de fTc, après effectuer une intégration j'obtiens la formule du cours, où on démontre que c'est inférieur à 1/pi*f*Tc , peux-je dire l'inégalité est correcte car on divise par pi l'expression est réduite plus que si on multiplie par pi au sein du sinus? En effet, je tombe sur l'inégalité du cours et je ne suis pas sûre de comment passer à l'inégalité demandée. 

4- Pour l'accordage de la guitare, je voudrais savoir si l'objectif de la question 1 est de remarquer que lorsque f2 et f1 sont proches (donc f2 = f1+epsilon) on obtient par la formule sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) on aura un sinus qui tend vers 0 est un cosinus qui tend vers 1 et donc on obtient plus ou moins un signal d'amplitude double mais de même fréquence, soit 2sin(2*pi^*f1*t) 

5- Concernant l'exercice "un peu de radio" pour l'onde de transport, l'explication est celle du transport par l'espace (via onde électromagnétique) ou de partager à plusieurs ondes (ce que dans cet exemple n'a pas beaucoup de sens vu qu'on travaille avec une seule onde S(t) mais en théorie c'est correcte n'est ce pas?). Par rapport à cette question, j'ai voulu en savoir plus et j'ai tombé sur le  multiplexage fréquentiel (va t-on aborder ce sujet ou recommencez vous des documents/vidéos à ce propos?, c'est un sujet qui tire mon attention).

6-En relation aux sommes de Riemann (c'est plutôt l'aspect mathématique mais vu qu'on en parle à l'exercice qui lie la partie programmation et théorie), la méthode générale pour le passage de l'intégrale à la somme et trouver le x_k, est de multiplier le delta k par k? (je vous joins un pdf, excusez-moi pour la langue, (espagnol) mais je n'ai pas trouvé un exemple adéquat en français) ? 

7- Finalement, sur la démonstration du théorème de Shannon par les séries de Fourier, pourrait on dire que les fonctions cos(nx) et sin(nx) constituent une base pour l'espace vectoriel des fonctions continues (intégrables?). En effet, les formules de décomposition de sommes de sinus / cosinus et d'interpolation prend beaucoup de sens avec cet approche (je pense). 

8- ps: en fonction a une question que je vous ai déjà posé par rapport à la variable d'intégration "s", on met donc sin(2*pi*f*s) - par rapport aussi à l'exercice 4.c série semaine 6. 

Très cordialement, merci en avance et excusez moi à nouveau par la quantité de questions et le document en espagnol, mais c'est un sujet que je trouve particulièrement intéressant. 


In reply to Marcelo Manuel Gallardo Burga

Re: Série 6-7, échantillonnage, signaux

par Sepand Kashani,
2. Si on demande uniquement de dessiner la sortie du filtre, alors tu peux te contenter de faire les traces adéquates sur les plots.

3. La solution est presque donnée à la page 25/40 du premier cours du module 2: tu as \| \hat{X}(t) \| = \| \frac{\sin(\pi f T_{c})}{\pi f T_{c}} \sin(2 \pi f t - \pi f T_{c}) \| = \| \sinc(f T_{c}) \sin(2 \pi f t - \pi f T_{c}) \| \le \| \sinc(f T_{c}) \| puisque \| \sin(2 \pi f t - \pi f T_{c}) \| \le 1.

5. Si ta question est pourquoi on utilise une onde porteuse, les raisons sont multiples: 1) la taille de l'antenne de réception doit être de la même ordre de grandeur que la longueur d'onde du signal transmis, donc directement capter des basses fréquences est peu (voir pas du tout) pratique si tu veux pouvoir mettre ton portable dans la poche. 2) Les plages fréquentielles sont perturbées différemment par l'atmosphère et l’environnent. En particulier les basses fréquences sont rapidement absorbés par l'atmosphère et ne traversent pas de grandes distances avant de perdre la majorité de leur énergie par dissipation thermique avec l'air. (Tu as peut-être déjà remarqué que l'air près d'une enceinte est plus chaud que l'air quelques mètres plus loin? Ce n'est pas uniquement dû à la chaleur produite par les composants électroniques.)
Bien que le cours mentionne uniquement le cas AM pour un seul signal, sache qu'il est possible de l'utiliser pour transmettre des informations différentes en parallèle. "Frequency multiplexing" est l'une des techniques pour y parvenir. Il y a également des techniques comme OFDM et CDMA entre autres pour faire la même chose.

6. La somme de Riemann est une manière d'approcher une intégrale par une somme finie. Dans tous les cas *il ne s'agit que d'une approximation*. Il est néanmoins possible de calculer la valeur d'une intégrale de manière plus efficace par des formules de quadrature (qui peuvent être exacte). Vous verrez ces notions dans des cours d'analyse numérique.

7. \sin(n x) et \cos(n x) forment une base pour certaines fonctions *périodiques* (pas forcément continu), mais pas pour L^{2}(-B, B). Une base pour cette espace est \{ \sinc(\frac{x}{B}) - k\}_{k \in \mathbb{Z}}.